Mit der Zahlenreihe ist die Anzahl der Schritte zwischen beliebigen Zahlen festgelegt und damit das Ergebnis jeder Addition und Subtraktion als derjenigen Zahl, zu der man gelangt, wenn man von einer bestimmten Zahl eine bestimmte Anzahl von Schritten vorwärts oder rückwärts macht.
Wenn das stimmt, ist möglicherweise Kants Hoffnung eine Illusion, in der Mathematik das Beispiel eines Bauwerks für die Ewigkeit zu finden. Diesen Anspruch hatte er an eine Wissenschaft, die diesen Namen verdiente.
“Zuvörderst muß bemerkt werden: daß eigentliche mathematische Sätze jederzeit Urteile a priori und nicht empirisch sind, weil sie Nothwendigkeit bei sich führen, welche aus Erfahrung nicht abgenommen werden kann. Will man mir aber dieses nicht einräumen, wohlan so schränke ich meinen Satz auf die reine Mathematik ein, deren Begriff es schon mit sich bringt, daß sie nicht empirische, sondern blos reine Erkenntniß a priori enthalte.
Man sollte anfänglich wohl denken, daß der Satz 7+5=12 ein blos analytischer Satz sei, der aus dem Begriffe einer Summe von Sieben und Fünf nach dem Satz des Widerspruchs erfolge. Allein wenn man es näher betrachtet, so findet man, daß der Begriff der Summe von Sieben und Fünf nichts weiter enthalte, als die Vereinigung beider Zahlen in eine einzige, wodurch ganz und gar nicht gedacht wird, welches diese einzige Zahl sei, die beide zusammenfasst. Der Begriff von Zwölf ist keineswegs dadurch schon gedacht, daß ich mir blos jene Vereinigung von Sieben und Fünf denke; und ich mag meinen Begriff von einer solchen möglichen Summe noch so lange zergliedern, so werde ich doch darin die Zwölf nicht antreffen. Man muß über diese Begriffe hinausgehen, indem man die Anschauung zu Hülfe nimmt, die einem von beiden correspondirt, etwa seine fünf Finger oder (wie Segner in seiner Arithmetik) fünf Punkte und so nach und nach die Einheiten der in der Anschauung gegebenen Fünf zu dem Begriffe der Sieben hinzutun. Man erweitert also wirklich seinen Begriff durch diesen Satz 7+5=12 und thut zu dem ersteren Begriff einen neuen hinzu, der in jenem gar nicht gedacht war, d.i. der arithmetische Satz ist jederzeit synthetisch, welches man desto deutlicher inne wird, wenn man etwas größere Zahlen nimmt; da es denn klar einleuchtet, daß, wir möchten unsern Begriff drehen und wenden, wie wir wollen, wir, ohne die Anschauung zu Hülfe zu nehmen, vermittelst der bloßen Zergliederung unserer Begriffe, die Summe niemals finden können.”1
Zeichen können durch ihre Beziehungen zu anderen Zeichen definiert werden. Ein einfaches Zeichen kann als Abkürzung für eine Zeichenverbindung dienen. Das ist oft der Fall, wenn ein Wort durch andere Worte erklärt wird. Z.B.: "Schimmel"="weißes Pferd". "Weiß" können wir allerdings auf diese Weise nicht mehr definieren. An dieser Stelle käme die Anschauung ins Spiel: eines Glases Milch, einer Wolke, eines Blatts Papier usw. In den Axiomen eines logischen Kalküls sind Zeichen tatsächlich abschließend und ausschließlich durch ihre Beziehung zu anderen Zeichen definiert. Wir können mit ihnen aber nicht mitteilen, dass wir z.B. etwas weißes gesehen haben. Wenn das möglich sein soll, muss das Zeichen mit Hilfe einer "correspondirenden" Anschauung definiert werden, die man insofern als nicht empirisch bezeichnen kann, als eine Definition nicht nur hier und jetzt gilt. Dabei werden aber nicht zwei Begriffe "synthetisch" zu einer Aussage verbunden, sondern die Bedeutung des Zeichens bestimmt, nicht analytisch zergliedernd, sondern durch die Verbindung mit einer Anschauung. So ist es auch bei den Zahlen, bei denen es zwar nicht auf ganz bestimmte Anschauungen ankommt, aber irgendwelche müssen es sein, ohne geht es zunächst nicht.
Wenn man weiter unter Addition das Aufsteigen, unter Subtraktion das Absteigen in der Zahlenreihe versteht, man könnte auch sagen: einerseits das schrittweise Hinzufügen, andererseits das schrittweise Weglassen von Einheiten, dann muss man über diese Begriffe, in diesem Fall Verfahren, nicht hinausgehen, um die Ergebnisse von Additionen und Subtraktionen zu erhalten, sondern sie sind bereits in den Definitionen enthalten und deshalb nicht erfahrungsabhängig.
Natürlich könnte man in der Zahlenreihe auch die zwei auf die sechs folgen lassen und die Reihe könnte auch mehr oder weniger als zehn Schritte umfassen. Binärzahlen und Dezimalzahlen lassen sich ineinander übersetzen und das gleiche gilt, wenn einem Schritt in verschiedenen Reihen verschiedene Zeichen zugeordnet sind. Aber drückt eine Gleichung nicht unabhängig von ihrer äußeren Form eine zeitlose Wahrheit aus?
In welchem Sinn ist die Gleichung 5+7=12 denn wahr? Nicht in dem, dass zwölf Äpfel auf dem Tisch liegen, wenn man zu fünf Äpfeln sieben weitere legt. Das wäre ein Erfahrungssatz. Sondern in dem, dass zwölf Äpfel da liegen, wenn sich keiner in Luft auflöst oder aus dem Nichts erscheint2 , was mit Hilfe der Zahlenreihe festgestellt wird, die weder bestätigt, noch widerlegt werden kann, da sie als bloße Form nichts behauptet. Die Erklärung der Zahlenreihe besteht auch nicht darin, zu zeigen, daß sie irgendwie richtig wäre. Es wird nur gesagt und eingeübt, wie ihre Schritte heißen. Mehr ist hier noch nicht zu erklären. Richtig oder falsch im Sinn formaler Korrektheit sind erst die Anwendungen beim Addieren oder Subtrahieren.
Aber man könnte die Mathematik vielleicht, wenn man mehr Sinn dafür hat als ich, mit einer Kathedrale vergleichen, einer himmelstürmenden menschlichen Konstruktion, die aus wenigen Elementen und Kombinationsregeln errichtet wird.
Wo aber etwa die geometrische Konstruktion hinter der Anschauung zurückbleibt oder über sie hinausgeht, kann man tatsächlich “synthetisch a priori” beispielsweise sagen, daß man sich etwas nicht vorstellen kann - z.B. wie ein Flächenwesen aus einem Kreis nicht herauszukommen, ohne ihn zu durchbrechen oder aus einem geschlossenen Raum durch ein Ausweichmanöver in der vierten Dimension zu entkommen. Daß wir derartige Erfahrungen nicht einmal in unserer Phantasie machen können, weist die Sätze als “a priori” aus, daß sie nicht aus eigenen Voraussetzungen folgen und wir die Bedingungen dafür angeben können, unter denen wir sagen würden: jetzt machen wir sie doch, weist sie als “synthetisch” aus, d.h. zuschreibend, Begriffe nicht in ihre Einzelteile zerlegend, sondern zu Aussagen verbindend. Hier wird der Begriff der Dreidimensionalität nicht aus dem der räumlichen Erfahrung herausgelesen, denn sie wäre theoretisch auch anders denkbar, sondern mit ihm in Verbindung gebracht.
Wenn wir vor der Erfahrung bereits etwas über sie sagen können, ohne über prophetische Gaben zu verfügen, dann nicht über ihren Inhalt, sondern über die Art und Weise oder Form, in der wir sie machen.
Wie analytische Sätze beziehen sich synthetische a priori auf Formen, allerdings nicht des sprachlichen Ausdrucks, sondern der Erfahrung. Im Gegensatz zu den Sprachformen sind die der Erfahrung aber ebenso wenig unser Werk wie ihre Inhalte.